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REGLA DE SIMPSON
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos
cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una
integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.
Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b),
entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.
A las fórmulas resultantes de calcular la integral
bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.
REGLA DE SIMPSON 1/3
La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una
aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres
puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas
bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo,
el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se
aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres
puntos:
|
(Xi
, Yi) |
Por conveniencia al derivar una expresión para esta
área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se
encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este
arreglo no afecta la generalidad de la derivación.
La forma general de la ecuación de la parábola de
segundo grado que conecta los tres puntos es:
Por lo tanto:
|
|
La sustitución de los límites se produce:
Las
constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos
, (0, Yi + 1 ), y
deben satisfacer la ec. La sustitución de estos tres
pares de coordenadas en la ec. (7) produce:
La solución simultánea de estas ecuaciones para
determinar las constantes a, b, c, nos lleva a:
La sustitución de la primera y tercera partes de la
ecuación
se
produce que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Y i+1, Y i+2
y el ancho
de una faja.
Esto constituye la regla de Simpson para determinar
el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho.
Si el área bajo una curva entre dos valores de X
se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la
ecuación muestra que:
Sumando estas áreas, podemos escribir:
o bien
en
donde n es par.
La
ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área
aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número
par de fajas de ancho
Si
la función f(X) se puede expresar como una función matemática
continua que tiene derivadas continuas f ' a
, el error que resulta de aproximar el área verdadera de
dos
fajas bajo la curva f(X) comprendida entre Xi-1 y Xi+1
mediante el área bajo una parábola de segundo grado, se demuestra que es:
Este
error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de
dos fajas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de Simpson,
para obtener el área real bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado
del error por truncamiento generalmente no se puede valuar en forma directa. Sin
embargo, se puede obtener una buena estimación de su valor para cada intervalo
de dos fajas suponiendo que
es
suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden
superior son despreciables) y valuando para
. La estimación del error
por
truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones
correspondientes a cada dos fajas. Si la estimación del error total por
truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se deben utilizar intervalos
de dos fajas menores. Considerando el error por redondeo que también aparece,
existe un ancho óptimo de la faja para obtener un error total mínimo en la
integración.
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